然后，让我们来看，数学家常规的工作方法和自然科学家工作方法的差别在哪里。这种差别的持续，显然影响了从理论学科到实验学科，继而从实验学科到描述学科之间的差别。因而让我们把数学与最相近于数学范畴的学科——理论学科作一比较。让我们在这里选取一个与数学最相近的学科——理论物理。数学和理论物理实际上有着许多共同之处。正如我前面已说过的，Euclid几何系统是经典力学公理描述的原型。类似的现象是热力学的陈述，充满着如同Maxwell的描述电动力学系统，以及狭义相对论的句子。此外认为理论物理不管是分类的还是综合的，都不是解释现象的态度，今天已为大多数理论物理学家所接受。这意味着，这理论成功的标准，只需看一看它是否能建立一个简单的和雅致的，分类的或综合的能概括许多现象的框架;这些现象如果没有这个框架将会显得复杂和参差不齐的，进而看它是否能概括没有考察到的或者提出框架时尚不知晓的现象(这后面两种说法代表一个理论的统一性和预见力)。现在展示在这里的标准——显然极大地扩充了美学的性质，由于这个理由，它和你将要看到的对数学来说几乎完全是美学的成功的标准是很密切相联的。因此，我们现在可以把数学和与它最相近的自然科学作比较，与我想我已说明了的和数学有许多共同之处的理论物理相比较。然而在实际的惯用的方法中差别是巨大的和基本的，理论物理的目标主要来自“外界”，大部分是由于实验物理学的需要。他们几乎总是起因于想解决某一难题，预见和协调的成功通常会跟着到来。这看来是相似的，进展(预见和协调)来自研究过程，这种研究对解决某些原先存在的难题是必然要经历的。理论物理中的一部分工作是为了探索某种障碍，这种障碍的“突破”提供了发展，如我已提及的，这些难题通常源于实验;但是有时它们却是可接受的理论本身中各部分之间的不协调之处，当然，例子也是不少的。 [NextPage]
Michelson实验导致狭义相对论，某些电离电位和光谱结构的难题导致量子力学，这些就是第一种情况的例子;狭义相对论和Newton引力理论之间的冲突导致广义相对论，这是第二种情况的例子，这里从任何方面看，理论物理的问题都是客观地给定的，而作为衡量成功的标准，如我在上面所指出的，主要是美学的。但是也有一部分，我们上面提及过的具有基本的“突破”的问题，很难说它起源于客观实在。据此可见，理论物理的课题几乎各个时期都是非常集中的，一切物理学家的最重要的努力都集中在一、二个十分尖锐的领域，1920年代和1930年代初，集中在量子理论，1930年代后半期集中在基本粒子和核结构方面就是一些例子。
总的说来，数学的情况就不同了。由于在特点、风格、目标和影响方面相互之间广泛的差别，数学被分成许多分支。它显得和理论物理极为集中的情况十分相反。今天大多数物理学家仍然需要具备有关他的课题的有用知识一半以上，我怀疑，任何一个现在在世数学家会具备四分之一以上与他的课题有关的有用知识。在一个数学分支中“客观地”给出的“重要”问题可以相去甚远。数学家选这个课题，或者选其他课题，基本上是自由的，然而理论物理的一个“重要”问题常常是一种必须加以解决的一个冲突、矛盾。数学家有广泛的领域供他转换选题，他在选题方面可以有适当的自由，而对于决定选题，选题的标准和成功的标准，主要是美学的说法是正确的。我感到这个断言是会引起争论的，这是不可能“证明”的。有充分的理由可以说，这里的美学特点甚至比我们前面讨论理论物理时所提到的例子还要更为突出。人们期待一条数学定理或者理论，不仅要能用简单的和雅致的方式去描述而且还要能去划分大量的原先根本不同的各别情况。人们也期待它的构造在“美学上”的“雅致性”和在叙述问题时的自如性，如果你能自如地叙述问题，把握它和企图解决它，那么某些使人惊奇的探索过程中遇到的曲折会变得容易了等等。如果推导是冗长的或者复杂的，应该存在某些简单的一般原则，可以用来“说明”复杂性和曲折性，这些标准显然就是对任何创造性艺术所提的标准。所有这些和经验科学相比，在艺术气氛方面将更会纯粹和简单。
你将会注意到，我不曾提到数学与实验科学和技术科学之间的比较。这里，方法上的和一般气氛上的差别是太明显了。
数学概念来源于经验，尽管有时系谱是长远的曲折的，这种说法是一个适当的对真理的逼近。真理是太复杂了，以至能容纳任何事物，而不是逼近。但是一旦它们被设想出来后，这个主题开始按它自己特有的活力生长，并且在几乎完全按美学动机给出的创造物方面;它将比任何事物，特别是经验科学来得好。但是，我相信还有问题需要进一步强调，因为一门数学学科远离它的经验来源，或者说，如果仅是简接地来自“现实性”，是由现实激励生成的第二和第三代学科的话，这是一个最大的危险。它将变得愈来愈美学化，愈来愈艺术化。如果这个领域是由相关联的仍然与经验紧密相联的学科围绕着的话，或者说，如果这些学科处于受到特殊的、训练有素的人的影响之下的话，这不是坏事。但是也有一种重大的危险，学科只沿着远离根源的流一直持续展开下去，并且分割成多种没有意义的分支，学科将变成一种繁烦的资料堆积。换言之，远离经验来源，一直处于“抽象的”近亲交配之中，一门数学学科将有退化的危险。开始时，风格是古典的，当它显示出怪异时，危险就来了。要给出这样的例子是容易的，它们沿着一些特殊进展进入怪异的，以至高度奇异的状态，但是细说这些就太技术化了。
在任何事件中，不管它已达到什么样的阶段，对我来说仅有的补救是回复到源泉去：把它或多或少地重新对应到经验概念中去。我相信，这些要求过去是保持学科的生气勃勃和有效性的必要条件，今后，它同样将仍然是正确的。 [NextPage]
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