释，数学的经验来源是受到如我们较早提到的例子(几何学和微积分)的强有力地支持的。在分析数学严格性概念的可变性时，我希望主要强调的是上面已谈及的“基础”的论争。但是，我喜欢首先简要地考察问题的第二方面。尽管这方面也能加强我的论证，但是我把它看作第二位的，因为它的结论的终极性比“基础”论证的分析要少，我正在把这个归诸于数学“风格”的改变。大家知道，写出的数学证明的风格已经经历了相当大的起落，说起落比趋向要好一点，因为在某些方面，当代作者和18世纪或19世纪的某些作者之间的差别比当代的作者和Euclid之间的差别要更为大一些。此外，另一方面，它们有着值得注意的经久不变的东西。在有些呈现了某些差别的领域，无需引进任何新的思想，它们的主要差别，就可能消除。但是在许多场合，这些差别是如此的广泛，以致使人开始怀疑：在这种分歧的道路上，差别是否能仅仅由作者的风格、试验和教育上的差别来说明呢?他们实际上在构成数学的严谨性方面是否具有同样的思想呢?最后，在极端的情况下(例如：上面所说的18世纪后期分析方面的许多工作)，差别既是本质的，如果完全只是为了有助于新的和意义深远的已经发展了一百多年的理论的话，它又是可以补救的，有些按此种不严格方式工作着的数学家(或者他们的某些对此持批评态度的同辈人)是意识到它们缺乏严格性的。或者更为客观地说：他们关于什么是数学程序的想法是愿意遵循我们提出的观点的，但他们的行动却并非如此。但是另一些人，例如：这时期的最伟大的学者Euler似乎坚定地持有自己的标准，并且一直在按他自己标准行事。 [NextPage]
但是我不想进一步强调这件事。我将回到刚才停下的关于“数学基础"的论争方面去。在19世纪末和20世纪初，抽象数学的一个新分支，G．Cantor的集合论，引出了困难。即某些推理引向了矛盾;当这些推理并不处于集合论的中心的和“普适”的地位时，总比较容易根据某些形式的标准消除它，但是为什么集合论的后继部分比集合论自身更可信这是不清楚的。除了事后看到它们事实上引向灾难之外，对什么是先验的动因，什么是与之一致的哲学特征，人们如何从想要解决的集合论中去分离出它们也是不清楚的。紧接着对这种情况进行研究的主要是Russell和Weyl，后来由Brouwer作出结论，这些研究表明：不仅集合论，而且大部分现代数学所使用的“一般有效性”和“存在性”概念，在哲学上是要引起异议的。一个较少地具有这种不可预料的特点的“数学系统”是“直觉主义”，它是由Brouwer发展的。但是按这种方式，现代数学中，特别是在分析数学中，百分之五十以上的最有生机的部分或者要被“清除”掉，或者将变得无效了，或者必须补加某些更为复杂的考察来进行论证。后一过程，常常使有效性的一般性和推导的漂亮方面会有所减色。但是Brouwer和Weyl认为：根据这些思想去修正数学严格性的概念是必要的。
不可能过高地估计这些事情的意义。在20世纪30年代，有两位持第一种态度的数学家实际上提出了：数学的严格性概念和怎样构成一个精确证明的观念应该是可以改变的!下列的展开是值得注意的：
1．仅有很少的数学家，在他们自己日常工作中，愿意接受新的，苛刻的标准。尽管很多数学家称颂Weyl和Brouwer的基本想法是正确的，但是他们自身继续不受干涉地工作着，即按“老”的容易的方式搞他们自己的数学。
2．Hilbert追随着下面这个天才的思想去论证“经典”的(即直觉主义以前的)数学：即使在直觉主义系统中，也可以对经典数学是如何运算的给出严格的说明。也就是说人们可以描述经典系统是如何工作的，尽管人们不能论证这种工作。因此有可能直觉主义地证明：经典的程序决不可能引向矛盾。显然这样的证明是很困难的，但是对于怎样才能达到它，有着某些启示。按这个方案进行工作，有可能提供一个在与直觉主义系统相反的基础下证明经典数学的最为值得重视的证明。至少，这个解释在大多数数学家愿意接受的数学哲学系统中将是合法的!
3. 在试图建立这个规划的大约十年之后，G6del作出了最为值得铭记的结果。这个结果，如果没有某些附加的不引起误解的说明，那是不能作绝对精确的陈述的。它的基本内容是这样的：如果一个数学系统并不引向矛盾，那么这件事实，使用该系统的程序是不可证明的。GOdel的证明满足数学严谨性的最严格的标准——直觉主义的标准。它对Hilbert纲领的影响作用引起了某些争论，不过说理太技术化了。我现在的观点也和许多人一样，认为G6del已经证明了Hilbert的纲领本质上是无用的。
4．在Hilbert或Brouwer意义之下论证经典数学的主要想法已经过去了。大部分数学家决定使用任意的系统。总之经典数学过去曾产生的结果既是雅致的又是有用的。即使人们不能绝对地确定它的现实性，但是把它作为基础还是稳妥的，如像电子的存在那样。因此，如果人们愿意接受科学，人们就同样能接受经典的数学系统，甚至对直觉主义的某些最初的拥护者来说，这样的观点也成为可接受了。当前关于“基础”的论争，确实不太紧凑了，但是，经典系统将被大多数人而不是少数人抛弃的想法，似乎最不受欢迎。
我对这个论争的沿革，已经作了如此详细介绍，因为我想这是最谨慎的对数学的严格性是不可改变的说法的异议。这发生在我们自身的时代，我惭愧地知道自己关于绝对的数学真理性看法，在这一时期是怎样容易地改变的，并且是怎样相继地改变了三次的。 [NextPage]
我希望上述占了我文章一半篇幅的三个例子已足以说明许多最好的灵感来自于经验。很难相信，存在着与人类所有经验相联的、绝对的、不可变动的数学严格性的概念。关于这个问题，我企图采取一种低姿态，不管你对哲学或认识论持何种偏爱，任何一个了解数学的人，都会实际感受到一种经验，它很少会支持这样的假设：存在一个先验的数学严格性的概念。然而，我的文章还有另外一事，现在我试图转向这部分。
对任何数学家来说，很难相信数学是一门纯粹经验科学，或者说，所有数学概念都起源于经验主体。首先让我们来考察陈述的第二部分。现代数学中有各种各样重要部分，它的经验来源是不可追溯的。或者说，如果可以追溯的话，也是如此间接，显然地自它割断它的经验根源之后，就面貌全非了。代数符号是为了数学本身的使用而发明的。当然也可以合理地断言：它加强了与经验的联系，但是，现代的抽象代数，已经愈来愈朝着与经验很少相联的方向发展。关于拓扑也可以这样讲。在所有这些领域，数学家主观上的成功标准和作用价值，是自身相容、符合美学和脱离(或几乎脱离)经验(关于这些，我将进一步叙述)。在集合论中，这更为明显，一个无穷的“幂”和“序”，可以是有限数概念的推广，但是在他们的无限形式中(特别是“幂”)，它们和这个世界很难有任何联系。如果我不想避免某些技巧，我能够用数集理论作为例子来详细地叙述这一点。“选择公理”问题，无限“幂”的“可比较性”，“连续统”问题等等，也是如此。同样的评述可以应用到实函数论和实点集论：尽管它们可以被设想成是抽象的，不可应用的学科，并且按这种精神来看，几乎总是雅致的，然后在十年之后，有的可能在一个世纪之后，却变得对物理学十分有用。它们主要地仍然是在追求象征性的、抽象的、非应用的精神。
所有这种情况，以及它们的各种组合的事例可以不断重复，但 是，我想转到我前面指出过的第一方面去：数学是一门经验科学吗?或者更精确地说，数学真的是按经验科学那样实践的吗?或者， 更一般地说：数学家和他的课题的标准关系是什么?他向往的成功标准是什么?什么影响、什么考虑在控制和指引着他的努力呢?
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