论数学

　讨论任意领域中智力活动的性质是一件困难的任务，对处于人类智能中心领域的数学就更是如此。对人类智能的性质作一般的讨论，从本质上来说是困难的，它在任何情况下总比只涉及那些特殊范围的智能的讨论要更为困难。理解飞机的结构和升力、推力的力学原理，比乘坐飞机、以至驾驶它要更为困难。在没有以直观的和经验的方式获得某些知识之前，在没有预先了解、熟悉以及驾驶过飞机之前，人们就能理解原理及其过程，这是罕见的。 
    在数学领域中，这种讨论如果以一种非数学的方式进行的话，限制将更为苛刻。讨论必然会显示出某些不良的特性，得到的结果所依据的材料决不可能充分;相反，面面俱到的肤浅的讨论却不可避免。尽管我甚至意识到，我将要提出的说法有不少短处，但是很抱歉我还是得说下去。此外，我准备表述的观点，也完全可能不为许多其他数学家所赞同。你可能获得一个人为的不太系统的印象和解释。我提出的看法，对这些讨论究竟有多少价值，也许是很小的。在我看来，刻画数学特点的最有力的事实，是它和自然科学的特有联系。或者更一般地说，它和任何一类比处于纯粹描述水准更高级一些的、能对经验作出解释的科学的特有联系。大多数数学家和非数学家将会同意，数学不是一门经验科学，或者至少可以说它不是以某种来自经验科学技术的方法实现的，但是它的发展和自然科学却紧密相联。它的一个主要分支几何学，买际上起源于自然科学、经验科学。某些现代科学中最大的灵感(我认为是最大的)清楚地来源于自然科学，数学方法渗透和支配着自然科学的许多“理论”分支。在现代经验科学中，能否接受数学方法或与数学相近的物理学方法，已愈来愈成为该学科成功与否的主要标准。确实，整个自然科学一系列不可割断的相继现象的链，它们都被打上数学的标志，几乎和科学进步的理念是一致的，这也变得越来越明显了。生物学变得更受到化学和物理渗透，这些化学是实验和理论的物理，而物理是形式甚为数学化的理论物理。
      有一个甚为特殊的数学性质的两重性，人们必须理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主题中去。这种两重性是数学的本来面目，我不相信无需牺牲事物的实质，就可能简化和单一化对事物的看法。
      因而我并不试图为你提供一种单一化的模式，我将尽可能地，描写数学所具有的多重现象。无可否认，在人们能想象的那部分纯粹数学中，某些最为激动人心的灵感来自自然科学，我将提及两个最值得纪念的事实。
      第一个例子是几何学。几何学是古代数学中的一个主要部分，现在仍然是现代数学中几个主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是经验的，它开始成为一门学科并不像当今的理论物理。离开这些迹象，就很难说“几何学”是什么了，欧氏的公理化处理是几何学脱离经验向前跨出一大步的标志，但是它全然不能简单地被看成是决定性的、绝对的、最终的一步。欧氏的公理化在某些方面并不能满足现代绝对的公理化对严格性的要求，当然这不是主要的方面。最本质的是某些无疑是经验的学科，如力学和热力学，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的处理。然而所有这些都很难超出Euclid的程序。我们时代的经典理论物理，Newton原理，它的文字形式和最重要的实质部分都是很像Euclid的。当然在所有这些例子中，提到的公设都是以支持这些定理的物理考察、实验论证作为后盾的。但是人们可以论证：在几何学获得两干多年的稳定和权威之前(这种权威是理论物理的现代结构所缺乏的)，特别从古代的观点来看，提出一种类似于Euclid的解释是可能的.
      尽管自Euclid以来，在使几何学与经验脱离方面已经逐步地取得了进展，但是哪怕在今天，它也决没有变得十分完备。非欧几何学的讨论提供了这方面的一个好的说明。它也对数学思想的矛盾状态提供了一种说明，尽管这种讨论大部分发生在高度抽象的水平上，它所处理的是欧氏“第五公设”是否为其他公设的推论的纯粹逻辑问题;形式上的论战由Klein的纯粹数学的典范作品所总结。他证明了一欧氏平面，可以通过形式地重新定义某些基本概念而成为非欧平面。这里从开始到结束，都还是由经验促进的。所有欧氏公设的原始根据显然都是对整个无穷平面的概念所作出的非经验的刻画，为什么只有第五公设会有问题呢?这种撇开所有数学的逻辑分析，坚持必须由经验来确定欧氏几何是否有意义的思想，确实是由最伟大的数学家高斯提出的，后来由Bolyai，Lobachevsky，Riemann和Klein把它变得更为抽象。然而我们今天所考察的关于最初争论的形式上结果，不管是经验的或者物理学的，都已有定论。广义相对论的发现，迫使人们对关于几何学相互关系的观点进行修正。这种修正是在全新的背景下进行的。最后，人们就能接触到一幅完成了的可供比较的图景。这最后的进展是由这样一代人完成的，他们看到了欧氏公理方法已被现代公理派逻辑数学家处理成为完全非经验的和抽象的。这两种表面上似乎是冲突的态度，完美地合并成一种数学思想;因此，Hilbert在公理几何学和广义相对论方面都作出了重要的贡献。第二个例子是微积分，或者说是由它生成的数学分析。微积分是近代数学的最早的成果，对它的重要性，作任何估价都很难认为是过高的。尽管我认为它的确定比现代数学发端中的任何其他事物具有更多的歧义性，但是数学分析的系统，它的逻辑展开仍然是精确思维方面最大的技术上的进步。 [NextPage]

      微积分的起源显然是经验的，Kepler尝试着做的最早的积分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲面包围起来的物体的容积。这是非公理化的，经验的几何学，而不是Euclid以后的那种几何学，Kepler是完全知道这些的。Newton和Leibniz的那些主要成果和主要发现确实起源于物理学。Newton发明的“流数”运算，本质上是为了力学。事实上，这两门学科，微积分和力学，是由它们或多或少地结合在一齐而得到发展的。微积分的最初的一些陈述，数学上甚至可以是不严格的。一个不精确的半物理的陈述，是Newton以后一百五十多年来仅有的一种可供使用的陈述!这一时期数学分析取得了某些最重要的进步,而这种不精确性不能适应于基础!这时期的某些主导的数学精神显然是不严格的，如Euler;但是另外一些数学家，主要的如Gauss和Jacobi就并非如此。这种发展极为含混和模糊，它和经验的关系，确实不是按照我们(或Euclid)提出的抽象的和严格的想法那样。但是并没有数学家想排斥它。那个时期确实也产生了第一流的数学。即使在本质上是由Cauchy重建的严格性盛行之后，一种特殊的半物理方法在Riemann那里仍然得到了复萌。Riemann的科学的个性本身就是一个数学的两重性的光辉榜样，这些可以在Riemann和Weierstrass的争论中见到，如果我详细地列出这些，恐怕会使技术细节叙述得过分多了。自Weierstrass以来，分析数学似乎变得完全抽象、严格和非经验了，其实这也不是绝对真实的。在最近两代人中发生的有关数学和逻辑的“基础”的争论，驱散了许多关于这方面的错误的幻想。
      这为我带来了第三个例子，它和上述争论的判断是有关的，但是这个例子更多地是论述数学与哲学或认识的关系，而不是数学与自然科学的关系，它用一种引人注目的方式说明“绝对的”数学严格性的概念并不是不可改变的。严格性概念的可变性表明：在数学抽象之外的某些事物，作为补偿不足必须进入数学。在分析关于“基础”的争论时，我一直不能使自己确信：这种说法一定有利于外部成分的经验性质，尽管在讨论的某些言词上，对这样一种说明的支持是十分强有力的，但是我并没有把它看作是绝对地不可争议的。然而有两件事是清楚的。第一，已经引入某些非数学事物，这是本质的，不管它与经验科学或者哲学或者与两者如何联系，它的非经验的特点，仅当人们假设哲学(更为专门的认识论)能够独立于经验而存在时才能使人注意(这个假设仅是必要的而不是充分的)。第二，不顾关于“基础”的争论可能作出的最好解

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