内容提要 本文在数理层次上探讨了一般网络系统的拓扑性质、对称性质，界定了网络和网络度概念。以此为基础，讨论了社会系统微观的基本子系统及基本相互作用的性质，认为社会主体已占有、可占有及想占有的物质、能量、信息权力的大小是其主要规定；考察了社会系统宏观上的依赖于网络度和非线性程度的结构、功能性质。进而提出并尝试解决社会系统的结构优化问题。
关键词 网络 网络度 社会结构 优化
对于由众多子系统组成的复杂系统来说，网络模型具有一般的意义，因为复杂系统的微观动力学机制源于子系统的相互作用，宏观运动学现象源于子系统间的相干行为，网络模型正是从这两个角度来研究复杂系统的动力学及运动学行为的。再者，由多个子系统组成的复合系统大量存在于自然界、生物界及人类社会中，网络模型不仅可以提供处理这些系统的一些具体方法，而且可能具有方法论上的启示，它是研究复杂系统的一种一般方法。
社会系统从本质上说是人与人社会相互作用的网络系统，这里所指的社会是广义的社会，是经济、政治、
文化、狭义的社会等所有要素的综合体，因而它不仅有一般网络系统的基本性质，而且包含了经济、政治、文化等多种性质。
一、网络系统的数理描述
1、网络系统的数学描述
从数学角度看，网络系统有其特定的性质，这些性质是其一切衍生性质的基础。
（1）、网络概念
用数学语言说，网络最基本的单元(组元)是点，称为网络的顶点；点与点间由线来连接，连接顶点的线称为网络的棱。若用N表示顶点的集合，E表示棱的集合，则一个图便可表示为Ｇ(N，E)。多个点和线构成的图形即为网络，一个网络包括顶点和棱两类实体要素。
（2）、网络度概念
包含有N个顶点的网络，若任两点间都有一条棱连接，那么棱数为：
nmax＝(N-1)+(N-2)……+1＝N(N-1)/2
这是任一网络中可能有的最多连线数。显然网络中可能有的最少连线数是0。
对于含有N个顶点、n条棱的网络，我们定义其网络化程度(简称网络度)为：
ρ＝n/nmax＝2n／N(N-1)
由于n∈[0, nmax]，nmax＝N(N—1)/2，所以ρ∈[0,1]。ρ在其整个定义域[O，1]内有很多临界点，其间网络的数学性质(主要是拓扑性质)有很大不同。
（3）、网络的拓扑性质
一个系统的拓扑性质是指它的那些不依赖于“度量”的性质，确切地说是在同胚映射下保持不变的性质，它是系统固有的“结构”性质。不同的具体网络系统其度量性质可能千差万别，但其(某些)拓扑性质却可以相同，因而拓扑性质是对网络系统进行一般研究的较好角度。
网络度为ρ的网络系统，具有相应的“分支数T1”、“割点数T2”、“指数为k的点数∝k的分布g(k)”、“欧拉示性数χ(Ｇ)”、“横档数T3”等拓扑性质或称拓扑不变量。[1]以网络度ρ为指标的网络系统可分为以下几种具有不同拓扑性质的基本类型：ρ＝0的完全非连通网络，0＜ρ＜2/N的非连通网络，ρ＝２/Ｎ的连通网络，２/Ｎ＜ρ＜1的连通网络，和ρ＝1的完全网络。
2、网络系统的物理描述
（1）、物理意义上的网络系统
任何真实的网络系统，除数学性质外，还有其物理意义，物理上的网络系统是由子系统和相互作用构成的。首先，与数学网络中的“点”相对应的是所谓的“子系统”，子系统是网络系统最基本的组元，有其特定的性质，我们以Ci(t)表示网络系统中第i个子系统t时相对稳定的固有性质。其次，与数学网络中点与点间连线相对应的是子系统间的相互作用关系gij，相互作用是子系统结合成整体系统的纽带，它是子系统及整体系统存在、变化、发展的基础和动力。“相互作用是指两个子系统间传递物质、能量、信息的行为”，它有方向、强度、成分特征。[2]再者，物理意义上的网络系统，其网络度ρ的定义域仍为[O，1]，在此定义域内系统为广义的网，其间同样有一些临界点，在由临界点所分割的不同区域中，系统的相应性质有较大差别。
（2）、网络系统的对称性质
网络系统的数学性质主要是与“度量”无关的拓扑性质，而其物理性质则主要是与“度量”有关的对称性质。
①、网络系统时间对称性质
网络系统中的子系统性质Ci、子系统间相互作用gij、网络度ρ都是时间t的函数。随时间的流逝，它们变或不变及变化的方式决定了系统相应的动力学性质。
Ci、gij若是时间对称的，系统基本上是非演化的。Ci与gij时间不对称时，(Ci、gij)∝t的具体的不对称方式，决定了子系统与整体系统的具体动力学性质，系统成为具有特定演化方式的演化系统，Ci、gij、ρ时间不对称形式的丰富多彩决定了系统演化方式的丰富多彩。
②、网络系统网络空间对称性质
Ci、gij实际上都是在网络空间(i,j，…)上定义的，它们相对于网络空间的对称性质是系统重要的物理性质。
Ci、gij相对于网络空间(i,j，…)对称，会导致网络度ρ等拓扑变量相对于网络空间对称，此时系统为平衡系统，不存在内部的“势差”及结构。Ci、gij∝(i,j，…)不对称时,存在两种情况：a、ρ∝(i,j，…)不对称，系统在整体结构上是不平衡、不平权的，相互关联的子系统Ci及其相互作用gij的变化不仅决定于其固有性质，而且决定于其“结构性质”。b、ρ∝(i,j，…)对称，网络空间各处的相互作用只有强度的差别而没有“有”“无”的差别，这时ρ及其它拓扑性质都将对称。这种系统只有完全非连通网络和完全网络，它们都是结构性质对称即结构平权的。
③、网络系统嵌入空间对称性质
Ci、gij以致ρ虽然是在网络空间(i,j，…)上定义的，但是任何网络系统都有其嵌入空间，就是说都有其客观、真实的环境，因而Ci、gij、ρ同时在网络系统的嵌入空间中具有定义。
若子系统数量N、性质Ci、作用gij以致局域网络度ρ相对于嵌入空间对称，则意味着环境情况对“系统的各子系统性质”、“系统的结构性质”等是对称的，就是说不同的子系统、不同的结构所处的环境是相同的，那么这时系统的空间对称性质将完全由其网络空间对称性质决定，而与环境无关。
若系统的嵌入空间性质即环境情况相对于系统的网络空间不对称，那么这时系统的空间不对称性质，除结构上的网络空间不对称性质之外，还受环境的不对称性影响，这种环境的不对称性是系统相应方面的一个新的动力学因素。如Bénard实验中
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