[,1]]上连续、可导，则TD也是t′的函数，并且在[t[,0],t[,1]]上连续、可导。上面的讨论表明：在r＞0的条件下，存在附图{图}
即恒有附图{图}，则在[t[,0],t[,1]]上TD的最小值出现在t[,0]处。这种情况表明，尽管现行体制的运行仍将产生盈余，但盈余及其增值的速度已低于债务增加速度，必须立即对现行养老保险体制进行改革，实施改革的时间越迟，社会将要付出的代价越大。(2)若在[t[,0],t[,1]]上存在使
附图{图}
则t″点为使TD达到最小值的点。这种情况表明，在t″ 之前，保持现行体制，盈余仍将增加，并且盈余及其收益增加的速度大于现行体制对老人和中人形成的债务的增长速度，但在时间t″之后情况将发生根本性的变化，即盈余及其收益增加的速度将低于现行体制对老人和中人形成的债务的增长速度，因此应选择t″点对现行养老保险体制进行改革。即t″点是对现行养老保险体制实施改革的最佳时点，选择在该时点进行改革可使改革的成本达到最小。(3)若在[t[,0],t[,1]]恒有
附图{图}
即不存在使附图{图}的点，则表明在[t[,0],t[,1]]上TD的最小值将位于t[,1]处。这种情况表明，在[t[,0],t[,1]]时间段内，保持现行体制，盈余将持续增加，并且盈余及其收益增加的速度大于现行体制对老人和中人形成的债务的增长速度。因此，在[t[,0],t[,1]]时间段内不应对现行体制进行改革，而应视情况选择在t[,1]之后再决定是否对现行体制进行改革。
由于附图{图}的大小与体制内人口的年龄结构密切相关，下面将就不同的人口年龄构成进行简单讨论：
(1)战后出现过人口出生高峰，但由于生育率持续下降和医疗、生活水平的提高，人口的年龄构成已经老化，只是老化的速度较缓慢，美国及OECD的一些国家均属这类情况。
美国现行养老保险制度已覆盖大多数人，继续推行该制度则进入该制度的新人仅为刚及工作年龄的年轻人，在这种情况下体制内的人口年龄结构与总人口的年龄结构接近。
根据联合国1996年所做预测，美国2000、2020和2040年人口年龄结构见下表。
观察下表及图2并结合前面给出的公式，对美国而言，战后婴儿高峰期出生的这批人（以下简称为BBS）现在正是交纳养老保险费的主要力量。原因在于，BBS现已40岁左右，平均交纳养老保险费的年限已占应缴费年限的一半左右，而若选择此时进行养老保险体制改革，原体制仍将负担其退休金的近一半，而由于工资收入与年龄高度相关（注：在进行公式推导时，曾假定工资随参加工作的年限按固定比例增长，美国1998年《统计摘要》提供的数据基本符合这一规律，但50岁以上人的工资水平有所下降。），对于BBS来讲，在剩余的一半缴费年限中将交纳的养老保险费必将大大高于其已交纳的养老保险费，即式(4)中的第一项目前呈增加趋势。尽管式(4)中的第二项也将有所增长，但从总体看式(4)仍有一段时间将保持正值。目前美国养老保险体制已积累大笔盈余，并且年度财政赤字也已消除，所以如能在未来数年内使养老保险体制的盈余较好的增值，TD1与TD2都将增加，而TD3的第二部分即对中人的退休金债务将随着BBS退出工作年龄而大大减少，而与BBS在退休前这段时间所交纳的养老保险费相比，BBS退休后领取的退休金增加并不多，所以TD3第一部分的增量较小。因此，最小化的改革成本有可能存在于2020年之前的某个时点。
(2)在生育率持续下降的同时，死亡率也急速下降，人口迅速老龄化，中国和一些发展中国家均属此类情况。
中国现行的养老保险制度已覆盖国有企业的绝大部分职工。随着经济体制的改革，中国国有企业新增职工的速度已明显放慢，与此同时退休职工却迅速增加，为退休职工发放退休金已成为影响许多企业发展的障碍。从1997年起我国已对现收现付式养老保险体制进行改革，明确采纳了混合式养老保险体制。由于社会统筹的层次较低，而且在目前的经济状况下国家不可能拿出足够的资金对原体制遗留债务进行清偿，因此在现行体制下个人账户空账现象十分普遍，可以说在相当大的程度上仍属于现收现付式体制的延续。
美国人口年龄结构表 万人
年龄分组 2000 2020 2040
0-4 1876.3 2156.2 2155.6
5-9 2045.6 2147.7 2127.7
10-14 2017.6 2043.6 2125.8
15-19 1940.2 1959.3 2148.4
20-24 1813.2 2006.7 2169.0
25-29 1833.6 2197.4 2162.2
30-34 2006.4 2183.5 2059.8
35-39 2 276.2 2097.9 1979.6
40-44 2282.8 1944.7 2034.3
45-49 2032.7 1912.5 2208.6
50-54 1763.6 2016.7 2155.4
55-59 1360.4 2203.9 2032.2
60-64 1080.9 2113.9 1821.3
65-69 943.1 1766.5 1697.9
70-74 878.6 1389.9 1645.8
75-79 735.1 924.5 1582.3
80以上 896.1 1163.0 2213.0
资料来源：The Sex and Age Distribution of the World Populatios,The 1996 Revision,United Nations.
附图{图}
图2 美国人口年龄结构图
资料来源：The Sex and Age Distribution of the World Populations,The 1996 Revision,United Nations.
由于过去我国的养老保险体制仅覆盖国有企业和行政事业单位的职工，而相当长一个时期以来国有企业新增职工的速度已明显下降，当前体制内的年龄结构确实已经老化。但由于制度的覆盖面较小且社会统筹层次较低，制度仍处在发展阶段。如果加大制度的覆盖面，使目前其他所有制形式企业中的职工也进入养老保险体制，再加上目前因城镇化而带来的大量农村劳动力的涌入，在一定时期内现行体制将保持相当的盈余（TD1与TD2都将增加，并且TD2将快速增加），而由于体制内退休者（TD3中的第一部分）在短期内增加不多，如若利用前面给出的公式进行分析，可以发现目前并不是对现行体制进行改革的最佳时机，现行体制遇到的问题完全可以通过提高统筹层次的途径加以解决（笔者根据有关统计资料对我国养老保险体制改革成本的最小化时机进行了模拟，印证了以上推论，限于篇幅不再赘述）。
另外，在上面的讨论中，并未区分究竟是从现收现付制转向完全基金制，还是从现收现付制转向混合制，但是无论转向哪种制度，现行制度的遗留债务都是相同的，除人均期望寿命和预期收益率外，这笔债务仅由改革的时点和改革前现行体制的状况所决定，而与改革后制度的选择无关。
四、结论
无论是完全基金式、混合式还是现收现付式养老保险体制，均无法抵御因人均寿命延长产生的人口老龄危机。但由于人口年龄结构的老化，既源于生育率的持续下降，也源于因医疗和生活水平的提高导致的人均期望寿命延长。对于因生育率持续下降而带来的人口年龄结构老化，现收现付式养老保险体制明显无法抵御其冲击，所以对现收现付式养老保险体制进行改革已是大势所趋。
由于在现收现付式养老保险体制内每年收取的养老保险费中的大部分已用于对体制内退休者的退休金的支付，体
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