复杂管网数学模型及其分析方法
复杂管网数学模型及其分析方法
摘要：这里将介绍基于管网基本定理的复杂管网数学模型分析法，该方法也称节点法。利用该方法可以将复杂管网的邻接矩阵将简单管道与复杂管网的分析方法统一起来。同时给出非线性矩阵方程的迭代解法初始参数的计算方法。
关键词：非线性管网 节点法 水力分析
复杂管网分析方法有多种，近年新出现的有图论法和有限元法[3][4]。两种方法各有所长，图论法将复杂的管网处理为相应的“网络图”，并建立相应的数学模型以适用范围各不相同管网水力计算。有限元法通过局部的管元分析得出管网的数学模型。
管网水力分析的基础是管段的水力学模型。常用的数学模型是采用Darcy-Weisbach 公式和 Hazen-Williams 公式。这两个公式原用于管道沿程水力损失的计算，公式来源于理论研究和实验得到的结果。这两个公式的应用基础是大量实验统计得出的参数。Darcy-Weisbach 公式一般采用Colebrook-White、Swamee-Jain 实验公式和 Moody 图表来求出沿程损失系数f[2]。文献[1]论述了水力模型的基本形式和管网中管件的定理，该理论统一了局部损失和沿程损失的数学模型。这里进一步讨论在复杂管网中，基于该定理并利用节点分析方法给出Kirchhoff 第一定律和第二定律的表示方法及其应用。
1. 管网模型
1.1. 管道模型
按文献[1]介绍的：
定理1：任何管件的组合，其组合后的管件，以管件断面的流量和压力水头表示的数学模型具有幂函数的形式。
（1）
式中：a, b为不会等于零的实系数；hf为管段的水头损失；q是管段内的流量。
换言之，对于管段两端，记上游端水头为H2，下游端水头为H1，即：
（2）
1.2. 复杂管网模型
对于复杂管网，这里所说的复杂是指有多环、多水源、多出流口的管网，对于这种管网可以用与一般管道同样形式的矩阵公式来表示。
记：
式中： H为管段的节点水头矢量；q为管网的管段流量；n为管网中的管段数量。
为了有利于统一表达式，记管段两端的水头为H1，H2 。
对于简单管段有：
（4）
容易看出这种变形为采用线性方程组提供了方便。当第t次计算时，令：
（5）
式中： 
管段在第t-1时的流量，在第t-1次计算时它是已知量；
是管段在第t时的假定流量。
q是有方向的矢量，其方向是由管段端点2指向端点1。换言之，端点2水头大于端点1的水头，这样水才能从端点2流到端点1，流量的值才可能是正
